TEORIA DA PROBABILIDADE CONDICIONAL

O pastor Thomas Bayes nasceu em 1701 na cidade de Londres e desenvolveu uma teoria denominada “Teoria de Probabilidade Condicional”. A teoria de Bayes trata da probabilidade de um determinado acontecimento não encerrado nele mesmo, mas sim diante de um “se”, ou seja, a probabilidade de algo acontecer “se” outro evento ocorrer. Dessa forma, a teoria revela probabilidades bastante distantes do senso comum.

A probabilidade, por exemplo, de que uma pessoa escolhida aleatoriamente tenha problemas psiquiátricos, é baixa. A probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente acreditar que sua esposa consegue ler sua mente, também é baixa. Porém, a probabilidade de que uma pessoa que acredite que sua esposa consegue ler sua mente, ter problemas psiquiátricos, é bem mais alta. Esse constitui um exemplo bastante simples de que quando inserimos uma nova variante a mudança no espaço amostral leva a uma nova probabilidade. Mas outros exemplos trarão maior riqueza à explanação.

Numa família com duas crianças, qual a probabilidade de que, uma delas sendo menina, ambas sejam meninas? A princípio pode parecer que a probabilidade seria de ½, posto que a outra criança tem igual chance de ser tanto menina quanto menino.

“Se a conjunção condicional não estivesse presente”, de acordo com a Lei do Espaço Amostral de Gerolamo Cardano, “a probabilidade de que ambos os bebês fossem meninas seria de ¼,” pois estas seriam as possibilidades:

(menino, menino); (menino, menina); (menina, menino); (menina, menina). ¼.

Dada a condição de que um dos bebês é menina, a probabilidade de que ambos sejam meninas não é de ½ e nem ¼ , mas sim de 1/3. pois:

(menino, menina); (menina, menino); (menina, menina). 1/3.

Agora, usando o mesmo exemplo, o que aconteceria com a probabilidade se inseríssemos uma outra variante? Continuam dois bebês e continua um deles sendo menina, a diferença é que essa que sabemos ser menina se chama Flórida. O fato de sabermos o nome da menina tem algum significado para a probabilidade?

Em princípio o espaço amostral seria o seguinte:

Menina f = menina Flórida.

Menina nf = menina não Flórida

(menino, menina f); (menina f, menino); (menina nf, menina f) (menina f, menina nf); (menina f, menina f). 

Nesse espaço amostral a probabilidade de as duas crianças serem meninas é de 3/5.

            Porém, ao sabermos que uma das meninas se chama Flórida, podemos levar em conta outros fatores para reduzir o espaço amostral. Flórida atualmente, nos Estados Unidos, não é um nome muito comum dado as recém nascidas, assim, supondo que apenas 1 a cada um milhão de crianças nascidas se chama Flórida, podemos colocar como praticamente impossível duas meninas chamadas Flórida,  filhas dos mesmos pais, ainda mais tendo em conta que os país raramente batizam filhos com nomes iguais. Dessa forma, podemos retirar a possibilidade (menina f, menina f) do espaço amostral, que ficaria da seguinte forma:

(menino, menina f); (menina f; menino); (menina nf, menina f); (menina f, menina nf). ½

Tendo a variante de que uma das meninas se chama Floridas e tendo em vista que seria bastante improvável pais com duas meninas chamadas Flórida, retiramos do espaço amostral a opção (menina f; menina f) e esse fator, que em princípio parece irrelevante, altera a probabilidade.

Um último exemplo da Teoria da Probabilidade Condicional é referente a algo que aconteceu com o próprio Leonard Mlodinov. Em 1989 ele recebeu um exame de HIV + e seu médico disse que ele tinha 1 em 999 chances de estar com o vírus, posto que 1 em cada 1000 exames desse tipo dá falso positivo (da positivo sem ser de fato).

“Meu médico confundira a probabilidade de que o exame desse positivo se eu não fosse HIV positivo com a probabilidade de que eu não fosse HIV positivo se o exame desse positivo” (Mlodinov, F. Ob. Cit. p. 124).

Mlodinov reduz o espaço amostral a partir da informação dos Centros de Controle e Prevenção dos Estados Unidos, de que 1 a cada 10 mil homens brancos, americanos, heterossexuais e não usuários de drogas (perfil no qual ele se enquadra) testados, estão infectados pelo HIV. “Presumindo que a taxa de falsos negativos fosse próxima de 0, isso significa que aproximadamente 1 pessoa de cada 10 mil apresentaria  um exame positivo em virtude da presença da infecção” (idem. p. 125).

Sendo a taxa de exames falso-positivos de 1 a cada 1000, dentro do grupo de 10.000 homens haveria mais outros 10 casos de falso-positivos (positivos em pessoas não infectadas).

Resumindo, se a cada 10.000 homens do citado grupo 1 realmente é HIV+ e 10 homens são falso-positivos, 9.989 apresentarão exames negativos. A partir dessas considerações o autor reduz seu espaço amostral para os 11 homens que tiveram exames HIV+. Como apenas 1 desses 11 é realmente HIV+ e o restante são falso-positivos, Mlodinov conclui que o parecer do médico, de que ele tinha 1 chance em 1000 de estar saudável, era equivocado. Na verdade a probabilidade era 10 chances de estar saudável num total de 11.

“Meu médico me informou que a probabilidade de que o exame estivesse errado - e eu, na verdade, estivesse saudável – era de 1/1 mil. Ele deveria ter dito: Não se preocupe, existe uma chance de mais de 10/11 de que você não esteja infectado” (Idem. p. 125).

 

(Esse texto é um RESUMO que fiz do capítulo de um livro que estou lendo e que gostaria de compartilhar com os amigos e leitores do blog. Procurei apenas colocar em termos mais claros e de forma mais resumida as idéias do autor. Todos exemplos citados são do autor, a ordem em que se encontram os argumentos é a mesma do autor. Como um "mal alfabetizado em Matemática", apesar do cuidado, posso ter comprendido de forma equivocada algum argumento e assim, peço desculpas antecipadamente. Mas como achei que o livro poderia interessar os colegas, achei por bem correr o risco).

Livro resumido: Mlodinow, Leonard. O Andar do bêbado: como o acaso determina nossas vidas. Zahar.
Leonard Mlodinow é doutor em Física pela Universidade da Califórnia, Berkeley.

Saimov